Makalah tentang Distribusi Binomial

---

Advertisements

---

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam suatu peristiwa atau kejadian yang memungkinkan untuk munculnya sebuah peluang dari kejadian tersebut maka perlu dilakukan perhitungan, banyak peristiwa yang dapat dihitung peluang kejadiannya, salah satunya adalah mengenai distribusi peluang, dalam, distribusi peluang ini sangat berbeda dengan peluang yang terjadi biasanya, sehingga perlu dikaji lebih dalam lagi. Dalam distribusi peluang ini banyak distribusi – distribusi yang mungkin terjadi, salah satunya yaitu “ Distribusi Binomial / Distribusi Bernoulli “ & Distribusi Multinomial yang akan dibahas dalam makalah ini.

1.2 Rumusan Masalah

1.2.1  Apa itu Distribusi Binomial ?

1.2.2  Bagaimana ciri – ciri dari Distribusi Binom ?

1.2.3  Apa itu Distribusi Multinomial ?

1.2.4  Bagaimana Cara menghitung Rata-rata dan Varian dari Distribusi Binom &

Multinom ?

1.2.5  Bagaimana Aplikasi soal dari Distribusi Binom dan Multinom ?

1.3 Tujuan

1.3.1 Untuk mengetahui apa itu distribusi Binom & Multinom

1.3.2 Untuk mengetahui bentuk dari Distribusi Binom & Multinom

1.3.3 Untuk menghitung nilai rata – rata dan varian dari Distribusi Binom & Multinom

1.3.4 Untuk menghitung banyaknya kejadian dalam Distribusi Binom & Multinom

BAB II

DISTRIBUSI BINOMIAL & DISTRIBUSI MULTINOMIAL

A.     Pengertian Distribusi Binom atau Bernoulli

Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat.Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial.

Contoh: pengundian dengan menggunakan koin.

B.     Ciri – Ciri dari Distribusi Binom

·           Distribusi ini memiliki ciri-ciri berikut :

1.        Percobaan diulang sebanyak n kali

2.        Setiap hasil percobaan dibedakan menjadi dua, yaitu kejadian sukses (S) dan kejadian gagal (G)

3.        Probabilitas terjadinya kejadian sukses (S) dan gagal (G), yaitu P (sukses) = P(S) = p dan P(gagal) = 1 – p = q adalah tetap.

4.        Semua hasil yang muncul saling bebas satu sama lain.

·           Jika kita melakukan percobaan sebanyak n percobaan dengan x yang sukses, maka jumlah titik sampel yang mungkin adalah

·           Dengan   n-x adalah yang gagal dalam n percobaan.

·           Suatu percobaan binomial yang diulang sebanyak n kali, dengan P (sukses) = P(S) = p dan P(gagal) = P(G) = 1 – p = q adalah tetap pada setiap percobaan dan X menyatakan banyaknya sukses dalam percobaan binomial, maka variabel acak X mempunyai distribusi binomial yang dirumuskan sebagai berikut :

Rumus dalam Distribusi Binomial adalah :

p(x) = P(X=x) = b(x,n,p) = ( n | x ) p^x q^n-x
                                    atau

p(x) = P (X=x) = b (x,n,p) = ( n | x ) p^x (1 – p)^n-x

Di mana x = 0,1,2 …,n dan q = 1 – p
p dan q disebut parameter.

C.  Rata – rata & Varians dalam Distribusi Binomial

   Rata – Rata  & Varians           

Ket.              : rata-rata

        σ² : variansi

         : peluang sukses

         q : peluang gagal

D. Aplikasi soal Distribusi Binom

Contoh soal :

1.    Peluang sebuah item akan tetap hidup ketika dilakukan shock test adalah ¾. Hitung peluang ada 2 item yg tetap hidup jika dilakukan test terhadap 4 item, rata-rata & varian?

Penyelesaian :

           dan   

2.    Misalkan diketahui 100 biji telur berpeluang cacat 5%, jika diambil 3 biji telur. Berapakah peluang satu telur yang cacat, dan cari pula rata – rata dan variansnya ?

Jawab :

Untuk n = 3  dan x = 1

p adalah peluang terambil  telur cacat = 5% =

q adalah peluang terambil  telur baik = 1- 5% =

P     =

=

   =   = 0,135375

E.       Pengertian Distribusi Multinomial

Dalam teori probabilitas , distribusi multinomial merupakan generalisasi dari distribusi binomial. Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil. Umumnya bila suatu usaha dapat menghasilkan k hasil yang mungkin E1, E2, …, Ek dengan peluang P1, P2, …, Pk. Maka distribusi multinomial akan memberikan peluang bahwa E1 ,terjadi sebanyak E2x2 kali, …, Ekxk kali dalam n usaha bebas dengan x1 + x2 + … + xk = n.

Contoh 10

          Pada suatu ujian, nilai ujian adalah A dengan probabilitas p serta banyaknya peristiwa adalah X

     A       4         5        6        7       8        9    Jumlah

      p     0,06   0,10   0,20   0,30  0,22  0,12     1,00

      X       3        5        10     15      11     6         50

          Banyak peristiwa di sekitar kita yang berbentuk distribusi probabilias multinomial

Distribusi Multinomial : Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil dengan peluang, maka distribusi peluang peubah acak yang menyatakan banyak terjadinya dalam n usaha bebas ialah :

F.      Rata – Rata () dan Varian Distribusi Multinomial ()

                                

Ket. μ       : rata-rata

       σ²      : variansi

       x_i       : hasil sukses ke-

       p_i       : peluang ke-

  Rumus fungsi densitas distribusi probabilita  multinomial

        

X = frekuensi setiap peristiwa

p = probabilitas setiap peristiwa

k  = banyaknya peristiwa

N = frekuensi seluruh peristiwa

•         Distribusi probabilitas multinomial tidak memiliki derajat kebebasan dan memerlukan parameter penentu probabilitas p

•         Perhitungan pada distribusi probabilitas multinomial cukup rumit

•         Pada statistika terapan, pada umumnya, distribusi probabilitas multinomial dipecahkan melalui pendekatan ke distribusi probabilitas lain

G.      Aplikasi Soal Distribusi Multinomial

Contoh 1 :

Bila dadu dilantumkan 6 kali , berapakah peluang mendapat jumlah 7 atau 11 muncul 2 kali,sepasang bilangan yang sama 1 kali,dan kombinasi lainnya 3 kali ?
Jawab
Nilai :
P1 = 2/9
P2 = 1/6
P3 = 11/18
X1 = 2
X2 = 1
X3 = 3

Contoh 2 :

Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali maka peluang di dapat mata1, mata 2, …, mata 6 masing-masing tapat 2 kali adalah ?

Jawab :

           

Contoh 2 :

Probabilitas siswa untuk memperoleh nilai C adalah 0,5, nilai B adalah 0,25, dan nilai A adalah 0,25. Dari 8 siswa, perobabilitas untuk 5 siswa memperoleh nilai C, 2 siswa nilai B, dan 1 siswa nilai A adalah

                     Nilai                 C        B        A

               Probabilitas              0,5      0,25     0,25

                        X                 5         2          1

 

Distribusi probabilitas multinomial dapat didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat Pada statistika terapan, pada umumnya, distribusi probabilitas multinomial didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat

            Di sini ingin ditunjukkan bahwa

•      Distribusi probabilitas multinomial terdapat pada banyak peristiwa yang kita temukan

•         Penyelesaian distribusi probabilitas multinomial dilaksanakan melalui pendekatan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat

•         Distribusi probabilitas khi-kuadrat akan dibahas secara tersendiri

BAB III

PENUTUP

A.         Kesimpulan

   Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu distribusi teoritis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat. Contohnya ; pengundian dengan menggunakan koin.

   Distribusi Binom atau Bernoulli mempunyai ciri – ciri sebagai berikut :

1.    Percobaan diulang sebanyak n kali

2.    Setiap hasil percobaan dibedakan menjadi dua, yaitu kejadian sukses (S) dan kejadian gagal (G)

3.    Probabilitas terjadinya kejadian sukses (S) dan gagal (G), yaitu P (sukses) = P(S) = ¶ dan P(gagal) = 1 – ¶ = q adalah tetap.

4.    Semua hasil yang muncul saling bebas satu sama lain

      Dalam Distribusi Binom hanya terdapat dua peristiw yaitu p (sukses ) dan q ( gagal )

      Rumus mencari probabilitas dalam distribusi Binom adalah

   Distribusi Multinomial merupakan generalisasi dari distribusi binomial. Percobaan binomial menjadi percobaan multinomial bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari dua hasil.

   Rumus untuk mencari probabilitas distribusi multinomial adalah

   Rata – rata dan varian Distribusi Binom & Distribusi Multinom

# Distribusi Binom                              # Distribusi Multinom

                                  

B.          Saran

Dalam suatu percobaan peluang sebaiknya dilakukan bukan hanya sekali supaya lebih mendapatkan hasil yang lebih tepat, dalam melakukan percobaan peluang juga jangan hanya terpaku pada suatu distribusi untuk lebih baiknya menggunakan bnayak distribusi sebagai bahan pertimbangan.

DAFTAR PUSTAKA

Sudjana, Metoda Statistika, Bandung : Tarsito, 2002.

http//www.endumediadadang.com

http//www.google-blog.co.id

http//Wikipedia.com

Artikel Terkait

---

Advertisements

---

Posted by Samini on Wednesday 12 July 2017 - Rating: 4.5

Title : Makalah tentang Distribusi Binomial
Description : BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam suatu peristiwa atau kejadian yang memungkinkan untuk munculnya sebuah peluang dari ...

Tweet